2024年初中数学三角函数及公式

借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

1．锐角三角函数定义

锐角角A的正弦(sin)，余弦(cos)和正切(tan)，余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;

余弦(cos)等于邻边比斜边;

正切(tan)等于对边比邻边;

余切(cot)等于邻边比对边;

正割(sec)等于斜边比邻边;

余割(csc)等于斜边比对边。

2．互余角的三角函数关系

sin(90°-α)=cosα， cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα， cot(90°-α)=tanα。

3．同角三角函数间的关系

商数关系：sinA/cosA=tanA

平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1

积的关系：

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒数关系：

直角三角形ABC中

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边,

余切等于邻边比对边

4.三角函数值

(1)特殊角三角函数值

(2)0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表

(3)锐角三角函数值的变化情况

(i)锐角三角函数值都是正值

(ii)当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)

余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

(iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

当角度在0°<∠A<90°间变化时，

tanA>0, cotA>0

对称轴与对称中心

y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2(k∈z) 对称中心：(kπ，0)(k∈z)

y=cosx 对称轴：x=kπ(k∈z) 对称中心：(kπ+π/2，0)(k∈z)

y=tanx 对称轴：无 对称中心：(kπ，0)(k∈z)

两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2

tan2α=2tanα/(1-tan^2)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

根据欧拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

辅助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos[α-arctan(A/B)]

万能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

cos(a)=[1-tan²(a/2)]/[1+tan²(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan²(a/2)]

降幂公式

sin²α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2

cos²α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2

tan²α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和的三角函数

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

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