2023年初中数学三角形最全知识点

▊ 三角形两边

定理 三角形两边的和大于第三边

推论 三角形两边的差小于第三边

▊ 三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

▊ 三角形的重心

三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

▊ 与三角形有关的角

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

2、直角三角形两个锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余(相加为90°)。有两个角互余的三角形是直角三角形。

3、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;三角形三个外角和为360°。

▊ 等腰三角形的性质和判定

◆ 性质

1.等腰三角形的两个底角相等(简写成"等边对等角")。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成"等腰三角形的三线合一")。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。[1]

◆ 判定

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。

在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)

▊ 全等三角形的性质和判定

全等三角形共有5种判定方式：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。特殊情况下平移、旋转、对折也会构成全等三角形。

1、SSS(边边边)，即三边对应相等的两个三角形全等.

2、SAS(边角边)，即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等.

3、ASA(角边角)，即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等.

4、AAS(角角边)，即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.

5、HL(斜边、直角边)，即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

注意：

1、SSS、SAS、ASA、AAS可用于任意三角形;HL只限于直角三角形.

2、SSA、AAA不能判定全等三角形.

3、在证明时注意利用定理，如：等式性质、等量代换、等角重合有等角、公共边、公共角、对顶角相等、等角或同角的余角或补角相等、角平分线定义、线段中点定义等.

4、证明全等写条件时注意书写顺序.

5、写全等结论时注意对应顶点的位置.

6、有时全等三角形会结合等腰三角形出现命题.

▊ 直角三角形的判定

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。简称为HL]

判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。

判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

▊ 等边三角形的判定

⑴三边相等的三角形是等边三角形(定义)。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。

▊ 勾股定理：

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

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