2023年初中数学解析二元一次方程知识点及应用

复习要求

1、认识二元一次方程(组);

2、了解二元一次方程(组)的解以及求二元一次方程的正整数解;

3、解决有关二元一次方程(组)的实际应用。

二元一次方程的基本内容

1 01二元一次方程

(1)二元一次方程的概念

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a≠0，b≠0)。

判定二元一次方程必须同时满足三个条件：

①方程两边的代数式都是整式——整式方程;

②含有两个未知数——“二元”;

③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。

(2)二元一次方程的解

使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

2二元一次方程组

(1)二元一次方程组的概念

由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程)。

(2)二元一次方程组的解

二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。

(3)二元一次方程组的解法

●a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。

步骤：

①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式;

② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程;

③解这个一元一次方程，求出 x 的值;

④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

●b.加减消元法

加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程(组)经常用到的方法。

步骤：

①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等;

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。

●加减消元方法的选择：

1、一般选择系数绝对值最小的未知数消元;

2、当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元;当某一未知数的系数相等时，用减法消元;

3、某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解;

4、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解。

二元一次方程的应用

数学来源于生活又服务于生活，我们把生活实际中的问题，用设未知数的方法用二元一次方程来刻画，就把实际问题，转化成了数学问题，这种解题就是数学中的建模思想，它能化难为易化抽象为具体，也是我们学习方程的重点。

列方程组与列一元一次方程基本类似，只不过列二元一次方程组解应用题时，应从题目中找出两个独立的相等关系，根据这两个相等关系列方程组求解。尤其是在七年级没学好一元一次方程的同学，需要及时有效的补缺。

1、列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。

所列方程必须满足：

(1) 方程两边表示的是同类量;

(2) 同类量的单位要统一;

(3) 方程两边的数值要相等。

2、二元一次方程组的应用步骤

(1)审题：弄清题意及题目中的数量关系

(2)设未知数：可直接设元，也可间接设元

(3)找等量关系：根据相关公式变量等，找出题目中的等量关系

(4)列方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组

(5)解方程组：利用消元法等方法解所列的方程组

(6)检验：检验解的正确性，是否满足实际问题

(7)答话：回答题目问题

3常用的基本等量关系1、行程问题：

(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。

其等量关系式是:两者的行程差=开始时两者相距的路程。

(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。

这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和=总路程。

(3)航行问题：

①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;

②船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;

③顺水速度-逆水速度=2×水速。

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

2、利润问题：

(1)利润=售价-成本(进价);

(2)利润=成本(进价)×利润率;

(3)标价=成本(进价)×(1+利润率);

(4)实际售价=标价×打折率;

注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利;为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。

(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)

3、储蓄问题：

■(1)基本概念

①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。

②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。

③本息和：本金与利息的和叫做本息和。

④期数：存入银行的时间叫做期数。

⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

■(2)基本关系式

①利息=本金×利率×期数

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× (1+利率×期数)

③利息税=利息×利息税率=本金×利率×期数×利息税率

④税后利息=利息× (1-利息税率)

⑤年利率=月利率×12

注意：当题目中涉及免税利息时，需要明晰免税利息=利息

4、数字问题：

解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。

有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字

5、其他问题：

(1)工程问题：工作效率×工作时间=工作量

(2)增长率问题：原量×(1+增长率)=增长后的量;原量×(1-减少率)=减少后的量

(3)和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量

(4)几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式

(5)年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的

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