2021中考数学二次函数拔尖题练习(2)

　　(2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，

　　∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm.

　　令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

　　由三角函数定义，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.

　　∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1.

　　化简，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|.

　　将x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化简，得?n＝p|p|＝±1.

　　由(1)知n＋4m＝0，

　　∴当n＝1时，m＝－14；当n＝－1时，m＝14.

　　∴m，n的值为：m＝14，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－14，n＝1(此时抛物线开口向下)．

　　(3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－14，

　　∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋p.

　　联立抛物线y＝－14x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3，

　　化简，得x2－4(p－3)＝0.

　　∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点，

　　∴一元二次方程根的判别式等于0，

　　即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

　　∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.

　　当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4.

　　15．解：(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋4，

　　此抛物线过点A(0，－5)，

　　∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1.

　　∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋4，

　　即y＝－x2＋6x－5.

　　(2)抛物线的对称轴与⊙C相离．

　　证明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

　　∴B(1,0)，C(5,0)．

　　设切点为E，连接CE，

　　由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

　　∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE，

　　解得CE＝426.

　　∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r＝d＝426.

　　又点C到抛物线对称轴的距离为5－3＝2，而2>426.

　　则此时抛物线的对称轴与⊙C相离．
 

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