中学趣味数学：安东尼的名次

安东尼、伯纳德和查尔斯三人参加了几项田径比赛。

1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。

2）并列同一名次者，都得到与该名次相应的分数。

3a）把每人在撑竿跳、跳远和跳高比赛中的得分加起来得到一个个人总分，结果这三人的个人总分都一样。

3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等。

4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。

5）安东尼和查尔斯在跳远比赛中得分相同。

6）安东尼和伯纳德在跳高比赛中得分相同。

7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。

在撑竿跳比赛中，安东尼得了第几名？

提示：找出一个每一行的和与每一列的和都相等的3×3方阵，即可判定出安东尼在撑竿跳比赛中的名次。为此，用代数方法表示安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分，以及安东尼和伯纳德在跳高比赛中的得分。）

答 案

这三人在三项比赛中的得分可以记入如下的3×3方阵：

根据3a）和3b），这个方阵中每一行的和与每一列的和必须都等于同一个数。根据2）和5），设安东尼和查尔斯在跳远比赛中的得分为b。根据2）和6），设安东尼和伯纳德在跳高比赛的得分为h。根据l）和2），b可以是0、l、2或3，h也可以是0、l、2或3。因此，把b和h组合起来共有十六对可能的数值。

如果b＝h即两者同时是0、1、2或3），则为了满足3a）和3b），方阵变成：

这种情况与{4）在撑竿跳比赛中没有出现得分相同的情况。}矛盾，因而是不可能的。

如果b＝0而h不等于0b＝0，h＝1；b＝0，h＝2；b＝0，h＝3），则为了满足3b），第二列的和必须等于第三列的和。

为了满足{3b）把这三人在某项比赛中的得分加起来得到一个团体分，结果三个项目的团体分都一样，而且这个团体分与上述的个人总分相等}，第二行的和必须等于每一列的和。但是第二行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。

如果h＝0而b不等0b＝l，h＝0；b＝2，h＝0；b＝3，h＝0），则为了满足3b），第三列的和必须等于第二列的和。

为了满足3b），第三行的和必须等于每一列的和。但是第三行的和已经大于所示的任何一列的和，因此这种情况是不可能的。

如果b＝l，h＝3，则为了满足3b），第二列的和必须等于第三列的和。#p#分页标题#e#

这种情况与{1）每项比赛只取前三名，第一名、第二名、第三名分别得3分、2分、l分。}矛盾，因为a不能小于0，从而a＋4至少等于4。再者，第二行的和已经大于所示的任何一列的和，这与3b）矛盾。）因此这种情况是不可能的。

如果b＝3，h＝l，则为了满足3b），第三列的和必须等于第二列的和。

这种情况与前一种类似，所以是不可能的。

如果b＝2，h＝3，则为了满足3b），第二列的和必须等于第三列的和。

为了满足3b），第三行的和必须等于每一列的和。于是，查尔斯在撑竿跳比赛中必须得到4分，但这与l）矛盾。因此这种情况是不可能的。

如果b＝3，h＝2，则为了满足3b），第二列的和必须等于第三列的和。

这种情况与前一种类似，所以是不可能的。

如果b＝1，h＝2，或者b＝2，h＝1它们是剩下的仅有可能），则为了满足3a）和3b），方阵变成下列二者之一：

本题的要求是求出a＋l的值这是上述两个方阵中唯一相同的记录）：a不能大于0，否则与{7）在这三项比赛中，伯纳德有一项没有得分，查尔斯也有一项没有得分。}矛盾；因此a必须等于0。于是a＋l＝l。

由于1分是第三名的得分，所以安东尼在撑竿跳比赛中得了第三名。

总结起来，得分的情况是下列二者之一：

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