2019年中考趣味数学：黛安娜的妹妹

黛安娜和母亲一起上街为她妹妹的生日聚会购买糖果和小礼品。黛安娜的母亲专买小礼品，而黛安娜专买糖果。关于她买糖果的数量和所买小礼品的数量，以及她们所花的钱款，情况如下：

1)黛安娜身上只带了十三枚硬币，而且里面只有三种：1美分、5美分和25美分。她把它们全部用来买了糖果。

2)她为奥尔西娅买的糖果每块2美分，她为布莱思买的糖果每块3美分，她为卡丽买的糖果每块6美分。

3)她为这三个女孩买的糖果块数各不相同，而且都不止一块。

4)有两种糖果她所付的钱款相同。

5)她母亲买了一些小礼品，每件小礼品的单价都一样。母亲总共花了4.80美元。

6)黛安娜所买糖果的块数同她母亲所买纪念品的件数相等。

7)黛安娜给她妹妹买的糖果块数最多。

三个女孩中，谁是黛安娜的妹妹?

提示：根据1)、2)、5)、6)可列出五个方程。根据4)所列出的三个方程，只有一个是正确的。在这些方程中各个量的和与积是奇数还是偶数，应予考虑。)

答 案

设P=黛安娜所带的1美分硬币和枚数，

N=黛安娜所带的5美分硬币和枚数，

Q=黛安娜所带的25美分硬币和枚数，

T=黛安娜为买糖果所花的总钱数以美分为单位)，

a=为奥尔西娅所买的糖果的块数，

b=为布莱思所买的糖果的块数，

c=为卡丽所买的糖果的块数，

d=母亲所买的纪念品的单价以美分为单位)，

F=母亲所买的纪念品的件数。

以上各数都是正整数。

根据1)：la)P+N+Q=13，

1b)P+5N+25Q=T.

根据2)：2)2a+3b+6c=T。

根据3)：3)a、b、c各不相同而且都大于1。

根据4)：4)或者2a=3b，或者2a=6c，或者3b=6c。

根据5)：5)F×d=480。

根据6)：6)a+b+C=F。

根据7)，问题可以重新表述为：

7)a、b、c中哪一个最大?

这里一共有六个方程和九个未知数，第四个方程是三个可能的方程中的一个。方程太多，无法仅用代数方法求解，因此除了各数都是正整数这一特点之外，必须再寻找其他特点。

知道：两个奇数之和总是偶数，

两个偶数之和总是偶数，

一个奇数与一个偶数之和总是奇数。

而且知道：两个奇数之积总是奇数，

两个偶数之积总是偶数，

一个奇数与一个偶数之积总是偶数。#p#分页标题#e#

根据这些规律，在方程1a)中，或是P、N、Q三者都是奇

数，或是这三个数中只有一个是奇数。无论是这两种情况中的哪一种，1b)中的T总是奇数。于是方程2)中的b是奇数。这样，在方程4)中，2a不能等于3b，因为2a是偶数而3b是奇数。3b也不能等于6c，因为6c是偶数而3b是奇数。因此2a=6c。至此，已经知道c不是最大的数，因为a必定大于c。)两边除以2，得a=3c。代入方程6)，得b+4c=F。

由于b是奇数，所以在b+4c=F中，F是奇数。在方程5)中，480是两个数的乘积，其中一个是奇数F)，另一个是偶数d)。在这个乘积中，F可能取的奇数值只有l、3、5或15。F等于1或3是不可能的，因为在b+4c=F中，b和c必须是正整数。根据3)b和c不能等于1)，F也不等于5。因此，F必定等于15。

于是b+4c=15，而C不能大于3或者小于1。根据3)，C不能等于1，也不能等于3否则b也等于3)。所以C必定等于2。从而b=7。根据前面得出的a=3c，所以a=6。因此b是最大的数。这样，根据7)，布莱思是黛安娜的妹妹。

其他各值可以求解如下。因为F=15，所以根据5)，d=32。由于a=6，b=7，c=2，所以根据2)，T=45。从1b)减去

la)得出4N+240=32。两边除以4，得N+6Q=8。Q不能大于1否则N将是负数)，也不能小于1因为根据l)，黛安娜有25美分的硬币)，因此Q=l。于是N=2。于是根据la)，P=10。

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