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2019年中考数学圆与圆位置关系中常见辅助线的作法

来源:网络资源 作者:中考网整理 2019-05-01 17:39:51

中考真题

圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容,也是学习中的难点,本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。

1. 作相交两圆的公共弦

利用圆内接四边形的性质或公共圆周角,沟通两圆的角的关系。

例1. 如图1,⊙O 1

和⊙O 2

相交于A、B两点,过A、B分别作直线CD、EF,且CD//EF,与两圆相交于C、D、E、F。求证:CE=DF。

图1

分析:CE和DF分别是⊙O 1

和⊙O 2

的两条弦,难以直接证明它们相等,但通过连结AB,则可得圆内接四边形ABEC和ABFD,利用圆内接四边形的性质,则易证明。

证明:连结AB

因为

所以

即CE//DF

又CD//EF

所以四边形CEFD为平行四边形

即CE=DF

2. 作两相交圆的连心线

利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形,解决有关的计算问题。

例2. ⊙O 1

和⊙O 2

相交于A、B两点,两圆的半径分别为 和 ,公共弦长为12。求 的度数。

图2

分析:公共弦AB可位于圆心O 1

、O 2

同侧或异侧,要求 的度数,可利用角的和或差来求解。

解:当AB位于O 1

、O 2

异侧时,如图2。

连结O 1

、O 2

,交AB于C,则 。分别在 和#p#分页标题#e# 中,利用锐角三角函数可求得

当AB位于O 1

、O 2

同侧时,如图3

图3

综上可知 或

3. 两圆相切,作过切点的公切线

利用弦切角定理沟通两圆中角的关系

例3. 如图4,⊙O 1

和⊙O 2

外切于点P,A是⊙O 1

上的一点,直线AC切⊙O 2

于C,交⊙O 1

于B,直线AP交⊙O 2

于D。求证PC平分 。

图4

分析:要证PC平分 ,即证

而 的边分布在两个圆中,难以直接证明。

若过P作两圆的公切线PT,与AC交于T

易知

由弦切角定理,得

又 是 的一个外角

所以

又 #p#分页标题#e#

从而有

即PC平分

4. 两圆相切,作连心线

利用连心线经过切点的性质,解决有关计算问题。

例4. 如图5,⊙O 1

与半径为4的⊙O 2

内切于点A,⊙O 1

经过圆心O 2

,作⊙O 2

的直径BC,交⊙O 1

于点D,EF为过点A的公切线,若 ,求 的度数。

图5

分析: 是弦切角,要求其度数,需将其转化为圆周角或圆心角,因此连结O 1

O 2

、O 1

A,则O 1

O 2

必过点A,且O 2

A为⊙O 1

的直径,易知 。

连结DA,则

于是

又 为锐角

所以

从而有

5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线

有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线,构造直角三角形。

例5. 如图6,⊙O 1

与⊙O 2

外切于点O,两外公切线PCD和PBA切⊙O 1

、⊙O 2

于点C、D、B、A,且其夹角为 , ,求两圆的半径。#p#分页标题#e#

图6

分析:如图6,连结O 1

O 2

、O 1

A、O 2

B,过点O 2

作 ,构造 ,下面很容易求出结果。

请同学们自己给出解答。

答案:两圆的半径分别为3和1)

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