2019年中考数学解直角三角形的方法点拔

解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。

例1. 如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且 ，求AB的长。

图1

思路1：所求AB是 的斜边，但在 中只知一个锐角A等于 ，暂不可解。而在 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解 入手。

解法1：在 中，因 ，且 ，AE=1

故

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

思路2：观察图形可知，CD、DE分别是#p#分页标题#e# 和 斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。

解法2：同解法1得

在 中，由 ，得

在 中，由 ，得

点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

例2. 如图2，在 中， ，AD是BC边上的中线。

1)若 ， ，求AD的长。

2)若 ，求证：

图2

分析：1)由AD是BC边上的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在 中求解AD。而在 中，由已知BC边和 可以先求出AC，从而使 可解。#p#分页标题#e#

2) 和 分别为 和 中的锐角，且都以直角边AC为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明

解：1)在 中， ，

在 中，

2)证明：在 中，由 ， ，得

在 中，由 ，

得

故 ，又因BC=2DC，故

点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D点在BC边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。

例3. 如图3，在#p#分页标题#e# 中， ，AD是 的平分线。

1)若 ，求

2)在1)的条件下，若BD=4，求

图3

分析：在1)中已知AD是 的平分线，又知AB、BD这两条线段的比为 ，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到 中，先求出 即可求得 。

解：1)由AD是 的平分线，得 ，即

在 中，由 ，得

，

2)由 ，得

由 ，得#p#分页标题#e# 。又

点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。

例4. 如图4，在 中， ，D为BC上一点， ， ，BD=1，求AB。

图4

分析：已知的角告诉， 和 都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解

解：在 中，设 ，由 ，可知 ，得 ，

在 中，由 ，BD=1， ，得

得

#p#分页标题#e#

点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。

训练题：

如图5，在 中，D、F分别在AC、BC上，且 ， ， ，求AC。

图5

提示： 是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC又为所求，已知的另外两边都在 中，且 ，即 是等腰三角形，因此，可以过D作 ，从而找到解题思路。由于DE、AF同垂直于BC，可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC)

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