2019年中考数学趣味数学：首位数问题

人们对生活中的许多现象由于习以为常而不求甚解。可是，如果仔细研究，这里面可能蕴含着深奥的道理。

天文学家在进行天文计算时，经常要使用对效表。本世纪韧，有一次天文学家西蒙?纽科姆在查对数表时，偶然发现了这样的现象：对数表开始的几页总要比后面几页磨损得厉害。这说明人们在查对数表时，较多地是使用了以1为首的那几页。于是，纽科姆便产生这样一个疑问：首位数是1的自然数在全体自然数中占有多大的比例?它是不是要比首位数是其它数字的自然效要多?人们后来就把这个问题称为;首位数问题;。

大家可能会认为这个问题是显而易见的。因为除0以外，共有九个数字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，用其中任何一个数字开头的自然数，在全体自然数中的分布是均匀的，机会应该是均等的。这就是说，首位数为1的自然数应该占全体自然数的1/9。可是，事实并不这么简单。1974年，现在是美国斯坦福大学统计学家的珀西?迪亚科尼斯当时还在哈佛大学做研究生)，研究了这个问题，所得到的结论出乎人们的意料：首位数是1的自然数约占全体自然数的1/3。准确一点说，这个数值应该是lg2约为0.30103。这是怎么一回事呢?

事实上，用不同数字做首位数字，这样的自然数的分布并不是很均匀的，也不是很规则的。首位数是1的自然数的分布规律是;

1到9之间，这样的数只有1个，它就是1，所以占1/9;

1到20之间，这样的数有11个，它们是1，10，11;;，19，所以约占1/2，

1到30之间，这样的数同样有11个，约占1/3，

1到100之间.这样的数仍然只有]1个，约占1/9，

l到200之间，这样的数有111个，它们是1，10，11，;，19，100，，;，199，约占1/2。

注意到首位数是1的自然数在以上各区间的个数与这个区间内所有自然数个数的比值，总是在1/2与1/9之间来回振荡。于是，迪亚科尼斯经过研究，终于运用高等数学的方法，得出这些比值的合理平均值，它就是上面所讲到的lg2。.

迪亚科尼斯当时并不知道这样偶然的发现有什么实际意义。后来，美国西雅田波音航天局数学家梅尔达德·沙沙哈尼在研究用计算机描绘自然景象的问题时，用上了这个结论。近年来，美国波音航天局将这一成果用于飞机模拟器，使飞行员在不离开地面的情况下接受训练，而能得到一种在空中飞行的实感。首位数问题的结论在科学技术中发挥了重大的作用。#p#分页标题#e#

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