第七讲 函数的最大值与最小值

　　1．一次函数的最大值与最小值

　　一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．

　　例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．

大值a．

　　例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件

x＋y＋z=30，3x+y-z=50．

　　求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．

　　分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．

　　解 从已知条件可解得

y=40-2x，z=x-10．

　　u=5x＋4y+2z

　　 ＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)

　　　=-x+140．

　　又y，z均为非负实数，所以

　　解得10≤x≤20．

　　由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．　　

　　2．二次函数的最大值与最小值

　　例3 已知x¹，x₂是方程

x²-(k-2)x＋(k²+3k+5)=0

　　解 由于二次方程有实根，所以

△=[-(k-2)]²-4(k²+3k+5)≥0，

3k²＋16k＋16≤0，

　　例4 已知函数

　　有最大值-3，求实数a的值．

　　解 因为

-a²＋4a-1＝-3

　　例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

　　解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积

S=xy，2≤X≤4．

　　易知CN=4-x，EM=4-y，且有

　　二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值

　　例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x²+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．

　　解 由题设知

f(p)=5，g(p)=25，

f(p)＋g(p)=p²＋16p＋13，

　　所以 p²＋16p+13=30，

p=1(p=-17舍去)．

　　由于f(x)在x=1时有最大值5，故设

f(x)=a(x-1)²+5，a＜0，

　　　　g(x)=x²+16x+13-f(x)

　　　　　　=(1-a)x²+2(a＋8)x＋8-a．

　　由于g(x)的最小值是-2，于是

　　解得a=-2，从而

g(x)=3x²＋12x＋10．

　　3．分式函数的最大值与最小值

　　法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．

　　解 去分母、整理得

(2y-1)x²+2(y+1)x+(y+3)=0．

　　△≥0，即

△=[2(y+1)]²-4(2y-1)(y＋3)≥0，

　　解得　　　　　-4≤y≤1．

　　时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．

　　说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．

　　解 将原函数去分母，并整理得

yx²-ax＋(y-b)＝0．

　　因x是实数，故

△=(-a)²-4?y?(y-b)≥0，

　　由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以

(y+1)(y-4)≤0，

　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　y²-3y-4≤0．　　 ②

　　所以a=±4，b=3．

　　4．其他函数的最大值与最小值

　　解 先估计y的下界．

　　又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．

　　说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：

　　但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．

　　例10 设x，y是实数，求u=x²＋xy+y²-x-2y的最小值．

　　分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．

　　又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．

　　例11 求函数

　　的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．

　　1．填空：

　　(1)函数y=x²＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．

　　(3)已知函数y=x²+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．

　　是_______．

　　(5)设函数y=-x²-2kx-3k²-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．

　　2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．

　　3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．

　　4．已知x²＋2y²=1，求2x＋5y²的最大值和最小值．

　　交点间的距离的平方最小，求m的值．

　　6．已知二次函数y=x²＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)²＋(β-1)²的最小值．

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