第六讲 二次函数

二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数，也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法，提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函数的基本性质是学好二次函数的关键．

　　1．二次函数的图像及其性质

　　例1 (1)设抛物线y=2x²，把它向右平移p个单位，或向下移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点，求p，q的值．

　　(2)把抛物线y=2x²向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)与(4，9)，求p，q的值．

　　(3)把抛物线y=ax²＋bx＋c向左平移三个单位，向下平移两个单位析式．

　　解 (1)抛物线y=2x²向右平移p个单位后，得到的抛物线为y=2(x-p)²．于是方程

2(x-p)²=x-4

有两个相同的根，即方程

2x²-(4p+1)x+2p²＋4=0

的判别式

△=(4p+1)²-4?2?(2p²＋4)=0，

　　抛物线y=2x²向下平移q个单位，得到抛物线y=2x²-q．于是方程2x²-q=x-4

有两个相同的根，即

△=1-4?2(4-q)=0，

　　(2)把y=2x²向左平移p个单位，向上平移q个单位，得到的抛物线为y=2(x+p)²＋q．于是，由题设得

解得p=-2，q=1，即抛物线向右平移了两个单位，向上平移了一个单位．

　　　

　　　　

解得h=3，k=2．原二次函数为

　

　　说明 将抛物线y=ax²＋bx＋c向右平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x-p)²＋b(x-p)＋c；向左平移p个单位，得到的抛物线是y=a(x＋p)²＋b(x＋p)＋c；向上平移q个单位，得到y=ax²＋bx＋c＋q；向下平移q个单位，得到y=ax²＋bx＋c-q．

　　例2 已知抛物线y=ax²＋bx＋c的一段图像如图3－7所示．

　

　　(1)确定a，b，c的符号；

　　(2)求a＋b＋c的取值范围．

　　解 (1)由于抛物线开口向上，所以a＞0．又抛物线经过点(0，-1)，

合a＞0便知b＜0．所以a＞0，b＜0，c＜0．

　　(2)记f(x)=ax²＋bx＋c．由图像及(1)知

　

所以

a+b＋c=a＋(a-1)-1=2(a-1)，

-2＜a＋b＋c＜0．

　　例3 已知抛物线y=ax²-(a＋c)x+c(其中a≠c)不经过第二象限．

　　(1)判断这条抛物线的顶点A(x₀，y₀)所在的象限，并说明理由；

　　(2)若经过这条抛物线顶点A(x₀，y₀)的直线y=-x+k与抛物线的另一

　　解 (1)因为若a＞0，则抛物线开口向上，于是抛物线一定经过第二象限，所以当抛物线y=ax²-(a＋c)x+c的图像不经过第二象限时，必有a＜0．又当x=0时，y=c，即抛物线与y轴的交点为(0，c)．因为抛物线不经过第二象限，所以c≤0．于是

所以顶点A(x₀，y₀)在第一象限．

　　　

　　　　　　　　　　　

B在直线y=-x+k上，所以0=-1+k，所以k=1．又由于直线y=-x+1经过

-2x²+2x．　

　　2．求二次函数的解析式

　　求二次函数y=ax²＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要三个独立的条件确定三个系数a，b，c．一般地有如下几种情况：

　　(1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解析式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组可得系数a，b，c．或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c．或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解析式，再结合其他条件确定a，b，c．

　　(2)已知抛物线的顶点坐标为(h，k)，这时抛物线可设为

y＝a(x-h)²＋k，

再结合其他条件求出a．

　　(3)已知抛物线与x轴相交于两点(x₁，0)，(x₂，0)，此时的抛物线可设为

y=a(x-x₁)(x-x₂)，

再结合其他条件求出a．

　　例4 设二次函数f(x)=ax²＋bx＋c满足条件：f(0)=2，f(1)=-1，

　　解 由f(0)=2，f(1)＝－1，得

即c=2，b=-(a＋3)．因此所求的二次函数是

y＝ax²-(a＋3)x＋2．

　　由于二次函数的图像在x轴上所截得的线段长，就是方程ax²-(a＋3)x＋2=0两根差的绝对值，而这二次方程的两根为

于是

　

　

　　因此所求的二次函数表达式为

　　例5 设二次函数f(x)=ax²＋bx+c，当x=3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求a，b，c的值．

　　分析 当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成f(x)＝a(x-3)²＋10，且a＜0．

　　解 因为抛物线的对称轴是x=3，又因为图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成

f(x)=a(x-1)(x-5)

的形式，从而

a(x-3)²+10=a(x-1)(x-5)，

所以

　　

　　

　　例6 如图3－8，已知二次函数y=ax²＋bx＋c(a＞0，b＜0)的图像与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，b＋2ac=0．

　　(1)求二次函数的解析式；

　　(2)若一次函数y=x＋k的图像过点A，并和二次函数的图像相交于另一点C，求△ABC的面积．

　　解 (1)因二次函数的图像与x轴只有一个公共点，故b²-4ac＝0，而b+2ac=0，所以

b²＋2b=0，

b=-2(因为b＜0)．

点B的坐标为(0，c)，AB=2，由勾股定理得

所以 1＋a²c²=4a²．

因为ac=1，所以

4a²=2，

　

　

　　

　

练习六

　　1．填空：

　　(1)将抛物线y=2(x-1)²+2向右平移一个单位，再向上平移三个单位，得到的图像的解析式为______．

　　(2)已知y=x²＋px＋q的图像与x轴只有一个公共点(-1，0)，则(p，q)=____．

　　(3)已知二次函数y=a(x-h)²＋k的图像经过原点，最小值为-8，且形

　　(4)二次函数y=ax²＋bx＋c的图像过点A(-1，0)，B(-3，2)，且它与x轴的两个交点间的距离为4，则它的解析式为________．

　　(5)已知二次函数y=x²-4x＋m＋8的图像与一次函数y=kx+1的图像相交于点(3，4)，则m=___，k=_____．

　　(6)关于自变量x的二次函数y=-x²＋(2m＋2)x-(m²+4m-3)中，m是不小于零的整数，它的图像与x轴交于点A和点B，点A在原点左边，点B在原点右边，则这个二次函数的解析式为____．

　　2．设抛物线y=x²＋2ax＋b与x轴有两个不同交点．

　　(1)把它沿y轴平移，使所得到的抛物线在x轴上截得的线段的长度是原来的2倍，求所得到的抛物线；

　　(2)通过(1)中所得曲线与x轴的两个交点，及原来的抛物线的顶点，作一条新的抛物线，求它的解析式．

　　3．已知抛物线y=ax²＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C．

　　

　　(2)若△ABC是等腰直角三角形，求b²-4ac的值；

　　(3)若b²-4ac=12，试判断△ABC的形状．

　　4．有两个关于x的二次函数C₁：y=ax²＋4x＋3a和C²：y=x²+2(b＋2)x+b²+3b．当把C₁沿x轴向左平移一个单位后，所得抛物线的顶点恰与C₂的顶点关于x轴对称，求a，b．

　　5．已知二次函数y＝x²-2bx+b²+c的图像与直线y=1-x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax²(a≠0)的图像上，求a的取值范围．

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