第五讲 函数的基本概念与性质

　　3．含绝对值的函数

　　一次函数的图像是一条直线，含有绝对值符号的函数所对应的图像是由若干条线段和射线所组成的折线；二次函数的图像是抛物线，而y=|ax²＋bx＋c|的图像是将y=ax²+bx+c在x轴下方的图像按x轴为对称轴翻到x轴的上方．对于一些其他的含绝对值符号的函数和方程的图像，需要按区间分段讨论．

　　例7 作函数y=|3-x|+|x-1|的图像．

　　解 当x＜1时，y=(3-x)+(1-x)=-2x+4；

　　当1≤x＜3时，y=(3-x)＋(x-1)=2；当x≥3时，y=(x-3)＋(x-1)=2x-4．所以

它的图像如图3－3所示．

　　例8 作函数y=|x²-5x+6|的图像．

　　解 当x≤2或x≥3时，x²-5x+6≥0，于是y=x²-5x+6；当2＜x＜3时，x²-5x+6＜0，于是y=-(x²-5x+6)．所以

于是，得图像如图3－4所示．

　　例9 点(x，y)满足方程

|x-1|+|y+2|=2，

　　解 当x≥1，y≥-2时，x-1＋y＋2=2，即

y=-x+1．

当x≥1，x＜-2时，x-1-(y＋2)=2，即

y=x-5．

当x＜1，y≥-2时，-x+1+y＋2=2，即

y=x-1．

当x＜1，y＜-2时，-x＋1-(y＋2)=2，即

y=-x-3．

于是，所得图像如图3－5所示．

　　由此可知，|x-1|+|y+2|=2的图像是一个对角线长为4，边长为2

　　例10 m是什么实数时，方程x²-4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根？

　　解法1 将原方程变形为

x²-4|x|＋4=m-1．

令y=x²-4|x|+4=m-1，则

它的图像如图3－6，而y=m-1是一条与x轴平行的直线．原方程有四个互不相等的实根，即直线应与曲线有四个不同的交点．由图像可知，当0＜m-1＜4，即1＜m＜5时，直线与曲线有四个不同的交点，所以，当1＜m＜5时，方程x²-4|x|＋5=m有四个互不相等的实数根．

　　说明 本题是一个方程问题，我们利用图形来研究，这是一种非常重要的思想方法――数形结合法．当然，本题不用图像也是可以解的，下面给出解法，请读者比较一下．

　　解法2 原方程变形为

(|x|-2)²＝m-1，

　　1．填空：

　　(1)已知f(x-1)=19x²＋55x-44，则f(x)=_______．

　　(2)对所有实数x，f(x²+1)=x⁴＋5x²＋3，那么对所有实数x，f(x²-1)=_______．

　　(3)设x与y²成反比例，y与z²成正比例．当x=24时，y=2；当y=18时，z=3，则z=1时，x=_______．

　　(4)已知y=2x²＋mx＋5的值恒为正，且m为实数，则m的范围是_______．

函数，且当x=2，x=3时，y的值都为19，则y的解析式为y=_______．

　　(6)如果y＋m与x＋n成正比例，且当x=1时，y=2；当x=-1时，y=1，则y与x间的函数关系式是y=_______．

　　2．在平面直角坐标系里，点A的坐标是(4，0)，点P是第一象限内一次函数y=-x＋6的图像上的点，原点是O，如果△OPA的面积为S，P点坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．

　　3．平面直角坐标上有点P(-1，-2)和点Q(4，2)，取点R(1，m)，试问当m为何值时，PR＋RQ有最小值．

　　试求k的取值范围．

　　5．设y=|x+2|+|x-4|-|2x-6|，且2≤x≤8，试求y的最大值与最小值之和．

　　6．作y=2|x-3|，y=x-a的图像，问a取什么值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积．

　　7．m是什么实数时，方程|x²-4x+3|=m有三个互不相等的实数解．