第十二讲 平行四边形

　　由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

　　(1)平行四边形对角相等；

　　(2)平行四边形对边相等；

　　(3)平行四边形对角线互相平分．

　　(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

　　(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

　　(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；

　　(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

　　例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．

　　分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．

　　证 因为ABCD是平行四边形，所以

ADBC，ABCD，∠B=∠D．

　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而

AE=CF．

　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，

　　ME=NF． ①

　　又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，

　　所以 MF=NF． ②

　　由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．

　　例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．

　　分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．

　　证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而

△ABG≌△HBG(AAS)，

　　所以 AB=HB． ①

　　在△ABE及△HBE中，

∠ABE=∠CBE，BE=BE，

　　所以 △ABE≌△HBE(SAS)，

　　所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

　　下面证明四边形EHCF是平行四边形．

　　因为AD∥GH，所以

　　∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②

　　又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．

　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以

FC=EH=AE．

　　说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．

　　例3 如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．

　　分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．

　　证 延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，

　　所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知

∠F=∠MDC，

　　又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

　　例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．

　　分析 只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．

　　证 延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，

　　∠FCH=∠CAD． ①

　　又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，

　　所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，

　　于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

　　例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：

　　分析 作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．

　　证 如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

　　设正方形边长为a，在Rt△ADF中，

　　所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，

　　例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．

　　分析 准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．

　　证 因为DEBC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以

　　所以 BC=GC=CD．

　　因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以

　　所以 ∠HDG=∠GHD，

　　从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

　　1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．

　　2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．

　　3．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．

　　4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．

　　5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

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