第十讲 一元二次不等式的解法

　　a＜0时，可先在不等式两边同乘-1(不等号方向改变)，化为上述情况．

　　1．含参数的不等式的解法

　　例1 设a为参数，解关于x的一元二次不等式

x²(a+3)x+3a＜0．

　　解 分解因式

(x-3)(x-a)＜0．

　　(1)若a＞3，解为3＜x＜a；

　　(2)若a＜3，解为a＜x＜3；

　　(3)若a=3，原不等式变成(x-3)²＜0，无解．

　　例2 设a为参数，解关于x的一元二次不等式ax²-(a+1)x+1＜0．

　　解 (1)a=0，原不等式为-x+1＜0，解为x＞1．

　　(2)a≠0，分解因式得

　　①若a＞0，则

　　②若a＜0，则

　　　　　　　　　　　

　　

　　例3 对一切实数x，不等式ax²+(a-6)x+2＞0恒成立，求a的值．

　　解 由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足

　　所以 2＜a＜18．

　　例4 设有不等式

　　试求对于满足0≤x≤2的一切x成立的t的取值范围．

　　解 令y=x²-3x+2，0≤x≤2，则在0≤x≤2上y能取到的最小　

　　　　　　　　　

　　2．含绝对值的不等式

　　例5 解不等式x²-x-5＞|2x-1|．

x²-x-5＞2x-1，

　　即　　　　　　x²-3x-4＞0，

　　　　　　　　　　　　　　　x²-x-5＞1-2x，

　　即　　　　　　　　　x²+x-6＞0，

　　综上所述，原不等式的解为x＜-3或x＞4．

　　例6 解不等式|x²-2x-3|＞2．

　　解 |y|＞2，即y＞2或y＜-2，所以，可以把原不等式分为两个不等式：

x²-2x-3＞2， ①

x²-2x-3＜-2． ②

　　综合上述两个不等式的解，原不等式的解为(图3－13)

　　3．可化为一元二次不等式来解的不等式

　　例7 解不等式

　　解 原不等式可化为

　　　　　　　　　　　　

(x-1)(x+1)＞0，

　　所以 　　　　　　　x＜-1或x＞1．

　　例8 解不等式

　　解 首先，由

　　得-1≤x≤3．将原不等式变形为

(7-8x)²＞16(x+1)，

　　所以 64x²-128x+33＞0，

　　例9 设a＞0，解不等式

　　解 因为a＞0，①的左端非负，因此x+1≥0．下面分两种情形讨论．

　　(1)x≥0时，①式左右两边平方得

a²x≤(x+1)²，

x²+(2-a²)x+1≥0． ②

　　因为△=(2-a²)²-4=a²(a²-4)，所以a＜2时，△＜0，②对一切x≥0成立．a≥2时，△≥0，x²+(2-a²)x+1有实根，而且两根的积为1，和为非负数a²-2，所以两根均为正．②的解为

　　(2)-1≤x＜0时，①式变为

x²+(a²+2)x+1≥0． ④

　　因为△=(a²+2)²-4＞0，所以x²+(a²+2)x+1有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负．由于两根积为1，较小的根小于-1，较大的根大于-1，所以④的解为

　　综合(1)，(2)，原不等式的解为：

　　当a≥2时，

　　当0＜a＜2时，

　　1．填空：

　　(1)不等式5x-3x²-2＞0的解为______．

　　(2)不等式42x²+ax＜a²的解为______．

　　(3)不等式x²-4|x|+3＞0的解为______．

　　(8)若对任何实数x，不等式kx²-(k-2)x+k＞0恒成立，则k的取值范围是____．

　　2．解不等式x⁴-3x²+2＜0．

　　3．解关于x的不等式

　　4．不等式

　　对一切x都成立，求k的取值范围．

　　5．a为何值时，只有一个x值满足不等式

0＜x²+ax+5≤4．

　　 欢迎使用手机、平板等移动设备访问中考网，2023中考一路陪伴同行！>>点击查看