第九讲 判别式及其应用

　　1．判定方程根的情况

　　例1 已知方程x²-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x²+2mx+m(m+1)=0有无实数根．

　　解 因为方程x²-2x-m=0无实数根，所以

△₁=(-2)²-4×(-m)=4+4m＜0，

　　即 m＜-1．

△₂=(2m)²-4m(m+1)=-4m＞0，

　　所以方程x²+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．

　　例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程

(a-2)^x2+(-2a+1)x+a=0

　　当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式

△=(-2a+1)²-4(a-2)a=4a+1，

　　说明 对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．　

　　2．确定方程中系数的值或范围

　　例3 关于x的一元二次方程

　　有实根，其中a是实数，求a⁹⁹+x⁹⁹的值．

　　解 因为方程有实根，所以

　　即 -a²-2a-1≥0．

　　因为-(a+1)²≥0，所以a+1=0，a=-1．

　　当a=-1时，原方程为x²-2x+1=0，x=1，所以

a⁹⁹+x⁹⁹=(-1)⁹⁹+1⁹⁹=0．

　　例4 若方程

x²+2(1+a)x+3a²+4ab+4b²+2=0

　　有实根，求a，b的值．

　　解 因为方程有实根，所以它的判别式

△=4(1+a)²-4(3a²+4ab+4b²+2)≥0，

2a²+4ab+4b²-2a+1≤0，

　　所以 　　　　　　　(a+2b)²+(a-1)²≤0，

　　说明 在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．

　　例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程

2x²-12x+m=0

　　的两个根，求m的取值范围．

　　解 设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由

△=12²-4?2?m=144-8m≥0

25=a²＞(b-c)²=(b+c)²-4bc=36-2m，

　　3．求某些方程或方程组的解

　　例6 求方程5x²+5y²+8xy+2y-2x+2=0的实数解．

　　解 先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即

5x²+(8y-2)x+(5y²+2y+2)=0．

　　因为x是实数，所以判别式

△=(8y-2)²-4?5?(5y²+2y+2)≥0，

y²+2y+1≤0，

　　即(y+1)²≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得

5x²-10x+5=0，

　　故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．

　　说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．

　　(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为

4(x+y)²+(x-1)²+(y+1)²=0，

　　从而x=1，y=-1．

　　例7 解方程组

　　解 引入待定系数k，由k?①+②得

△=(k+4)²-4(k+7)(k-1)=0．

　　4．证明不等式，求最大值和最小值

　　是多少？

(x-3)²+(kx-3)²=6，

　　即 　　　　　　　(k²+1)x²-6(k+1)x+12=0，

　　将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以

△=36(k+1)²-48(k²+1)≥0，

　　即 　　　　k²-6k+1≤0． ①

　　解 由于

　　所以 yx²+(y-2)x+y=0，

　　上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以

△=(y-2)²-4y²≥0，

　　即　　　　　3y²+4y-4≤0，

(3y-2)(y+2)≤0．

　　当y=-2时，代入yx²+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=

　　例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式

-t²+2t≤ab+bc+ca≤9t²-18t+10，

　　证 因为对任何实数t，有

-t²+2t=-(t-1)²+1≤1，

9t²-18t+10=9(t-1)²+1≥1，

　　当t=1时，便有

1≤ab+bc+ca≤1，

　　所以　　　　　　　ab+bc+ca=1．

　　由于a+b=2-c，于是

ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)²，

　　于是a，b是一元二次方程

t²-(2-c)t+(c-1)²=0

△=(2-c)²-4(c-1)²≥0，

　　即 3c²-4c≤0，

　　1．选择：

　　(1)某一元二次方程根的判别式△=2m²-6m+5，此方程根的情况是[　　]

　　(A)有两个不相等的实根

　　(B)有两个相等的实根

　　(C)没有实根

　　(D)由实数m的值而定

　　(2)关于x的方程2kx²+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[　　]

　　(3)如果关于x的方程mx²-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x²-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [　　]

　　(A)2个 　　　　　　(B)1个

　　(C)0个 　　　　　　(D)不确定

　　(4)方程(x+1)²+(y-2)²=1的整数解有 [　　]

　　(A)1组 　　　　　　(B)2组

　　(C)4组 　　　　　　(D)无数组

　　(5)若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b²-4ac与平方式M=(2ax₀+b)²的关系是 [　　]

　　(A)△＞M 　　　　　　(B)△=M

　　(C)△＜M 　　　　　　(D)不确定

　　2．填空：

　　(1)关于x的方程(a²-4)x²-2(a+2)x+1=0

　　恰有一个实根，则a=____．

　　(2)设m是不为0的整数，二次方程mx²-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．

　　(3)当m=____时，二次方程(m²-2)x²-2(m+1)x+1=0

　　(4)p，q是正数，如果方程x²+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．

　　(5)若x为实数，且有4y²+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．

　　3．求方程5x²-12xy+10y²-6x-4y+13=0的实数解．

　　4．解方程组

　　5．已知a，b是整数，x²-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x²+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x²+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．

　　6．已知a是实数，且关于x的方程x²-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u²+v²≥2(u+v)．

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