第一讲 分式方程(组)的解法

y²-18y+72=0，

所以 y₁=6或y₂=12．

　　x²-2x＋6=0．

x²-8x+12=0，

所以 x₁=2或x₂=6．

　　经检验，x₁=2，x₂=6是原方程的实数根．

　　例3 解方程

　　分析与解 我们注意到：各分式的分子的次数不低于分母的次数，故可考虑先用多项式除法化简分式．原方程可变为

x＋9=0，x=-9．

　　经检验知，x=-9是原方程的根．

　　例4 解方程

　　分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为

　　例5 解方程

　　分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为

x²＋9x-22＝0，

解得 x₁=2，x₂=-11．

　　经检验知，x₁=2，x₂=-11是原方程的根．

　　例6 解方程

　　　　　　x=0或2x²-3x-2=2x²+5x-3．

　　例7 解方程

　　分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为

当x≠0时，解得x=±1．

　　经检验，x=±1是原方程的根，且x=0也是原方程的根．

　　说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验．

　　例8 解方程

　　解 将原方程变形为

　　例9 解关于x的方程

　　将x₁=a-2b或x₂=b-2a代入分母b+x，得a-b或2(b-a)，所以，当a≠b时，x₁=a-2b及x₂=b-2a都是原方程的根．当a=b时，原方程无解．

　　例10 如果方程

只有一个实数根，求a的值及对应的原方程的根．

　　分析与解 将原方程变形，转化为整式方程后得

2x²-2x+(a+4)=0． ①

原方程只有一个实数根，因此，方程①的根的情况只能是：(1)方程①有两个相等的实数根，即

△=4-4?2(a+4)=0．

　　(2)方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根为0或2．

　　(i)当x=0时，代入①式得a+4=0，即a=-4．这时方程①的另一个根是x=1(因为2x²-2x=0，x(x-1)=0，x₁=0或x₂＝1．而x₁＝0是增根)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．

　　(ii)当x=2时，代入①式，得

2×4-2×2＋(a+4)=0，

即a=-8．这时方程①的另一个根是x=-1(因为2x²-2x-4=0．(x-2)(x+1)=0，所以x₁=2(增根)，x₂=-1)．它不使分母为零，确是原方程的唯一根．

　　 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的a的值分别是

　　1．填空：

　　(3)如果关于x的方程

有增根x=1，则k=____．

　　2．解方程

　　3．解方程

　　4．解方程

　　5．解方程

　　6．解方程

　　7．m是什么数值时，方程