代数式最值的求法

求代数式的最大值及最小值是初 试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。

一. 配方法

例1. 设a、b为实数，那么 的最小值是___________。

解：

因为 ，

所以当 且

即 且 时，式子 的值最小，最小值为－1。

二. 计算法

例2. 已知： ， ， ，则 的最小值为（ ）

A. B.

C. D.

解：由

解得

因为

所以只要 最小， 就最小，通过计算当 ， ；或 时#p#分页标题#e# 最小，最小值为

所以 的最小值为

故选B

注：也可把a、b、c的值直接代入 通过计算并比较，从而求出其最小值。

三. 消元法

例3. 已知： ，则 的最大值是___________，最小值是_________。

解：由 得

所以

所以

所以

所以当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最小值为－2。

四. 构造法

例4. 求 的最大值。

解：原式可变形为

其中 可以看成是以 ， 为直角边的直角三角形的斜边长， 可以看成是以 ， 为直角边的直角三角形中的斜边长。因此可构造图1。#p#分页标题#e#

图1

当C点与D点不重合时，即 时，在 中有

即

当C点与D点重合时，即 时

所以当 时即 时y取最大值 。

五. 坐标法

例5. 已知： ，求： 的最小值。

解：如图2，建立直角坐标系， 的图象是与x轴，y轴的交点分别为A（4，0）、B（0，8）的一条直线。

图2

设P（x，y）是直线 上的一动点，由勾股定理知 表示P（x，y）与O（0，0）间的距离，易知，只有当 时， 最小。

作 ，垂足为C。

因为

所以

所以 的最小值为 。

六. 换元法

例6. 求 的最大值。

解：因为 ，所以 #p#分页标题#e#

则可设

所以

所以当 ，即 时， 有最大值1。

七. 利用基本不等式法

例7. 若 ，那么代数式 的最小值是_____________。

解：当 时

因为

所以

即

因为

所以

所以 的最小值为1。

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