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运用转化思想解决数学问题

来源:网络资源 作者:中考网整理 2019-07-26 20:34:24

中考真题


转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想,本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一��转化为已能解决的问题来解竞赛题。本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点,这些都是属于初等数论范畴,而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现,包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试,乃至在IMO考试中都是必考的内容,所以大家应该对此给予重视。对于数论的学习,不能操之过急,应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍,对竞赛中出现相应的题目进行反思,这一点是很重要的。一同来体会一下最近几年全国和各省市初中竞赛题目中常见的问题,如何把问题转化。

例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数,求m的值。

分析 不妨先求出三个互不相等的合数之和,即4+6+8=18,所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。

解:由于4+6+8=18,故下面就来证明m的最大整数是17。

当m>18时,若 ,则m>9

即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和,故m=17

此题容易入手,逆向去考虑,采取极端性想法使问题得以解决。

例2 求满足等式 的正整数x、y。

分析 此问题容易想到因式分解,再加之问题里有数2003,因为2003是质数,这也是一个信息。

解:观察式子特点不难得出

故所求的正整数对x,y)=1,2003),2003,1)

此问题考察的重点在于因式分解。

例3 如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数时,n+1都能表示成k个完全平方数的和,那么k的最小值是________。

分析 采取分析法,因为 是一个完全平方数,所以设 ,再去推导n和a的关系,使问题不断得到解决。

解:由已知 是一个完全平方数,所以就设#p#分页标题#e# ,显然 不是3的倍数,于是 ,从而

,所以k的最小值是3

此方法是解决数论问题的一个常用的,也是基本的一个方法。

例4 设 为完全平方数,且N不超过2392。求满足上述条件的一切正整数对x,y)共有________对。

分析 此题与例3有相似之处,但是要难一些。首先用到了性质8,然后再结合不等式解决此问题。

解: ,且23为素数,N为不超过2392的完全平方数

所以共有1,19),2,15),3,11),4,7),5,3)以及1,88),2,84),;,22,4)

故满足条件的x,y)共有5+22=27对

此问题用到了数论里常用的方法��不等式法。把一个整数问题转化为不等式问题,就会求出上下)界,从而限定出所求数的范围,同时又是整数,故而使问题得以解决。

例5 已知方程 的根都是整数,求整数n的值。

分析 已知方程的根是整数,所以先把根求出来 ,所以根号下的数就应该是完全平方数,故此问题得以解决。

解:由求根公式解得

因为方程的根都是整数

所以 是完全平方数

,则有

#p#分页标题#e#

所以,分别解得整数n的值为10,0,-18,-8

此题的难点在于知道 是完全平方数之后,如何分解它,实际上是在解一个不定方程问题。

例6 设四位数 是一个完全平方数,且 ,求这个四位数。

解:设

由于67是质数,故 中至少有一个是67的倍数

此问题值得注意的是在设未知数的时候,采取整体代换,即把 看成整体,从而使问题简化。

例7 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数。

分析 此类型问题在考试中出现多次,它的方法基本上是设出之后做差 ,然后运用平方差公式分解,最后去解不定方程

解:设此自然数为x,依题意可得

但89为质数,它的正因子只能是1与89,于是

解之,得n=45。代入2)得 。故所求的自然数是1981。

此问题是比较典型的,两个式子三个未知数,感觉没有办法解决,但是一做差就是柳岸花明又一村,所以在一些问题中经常把几个式子做差或者做和,来发现其中的奥妙。

在解决数学问题时,要以不变知识)去应万变问法),不断去探索,有时候可以用特值去验证结论,这样就会有一个大致的方向,再通过不断的把问题转化,从而解决数学问题。#p#分页标题#e#

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